吕军 复旦大学-吕军 复旦大学
2010
年北大自主招生试题（理科）
数学：
为正五边形边上的点， 证明：
AB
最长为（根
5+1
）
/ 2(25
分
)
为
y=1 -x^2
上在
y
轴两侧的点，求过
AB
< p>的切线与x
轴围成面积的最小值。
(25
分< /p>
)
3.
向量
OA
与
OB
已知夹角，
|OA|=1
，
|OB| =2
，
OP=tOA
，
OQ=
（< /p>
1-t
）
OB
，
|PQ|
< p>在t0
是取得最
小值，问当
0 时，夹角的取值范围。 (25 分 ) 存不存在 0 π /2
，使得 sinx,cosx,tanx,cotx 为等差数列。<
/p> (25 分 ) 在空气中燃烧的固体产物溶于水，放热，放出有臭味的气体，写出方程式。<
/p> 同样浓度下， 醋酸和氨水的电离程度
相同， 但氢氧化铝可以完全溶于醋酸， 却不能溶于氨 和水一样，酯也
可以在氨中发生氨解反应，写出 RCOOR’的氨解反应方程式。 不同于水溶液，在液氨的环境中，“不活泼”金属可以将“活泼”金属置换出来，
如 ，解释为什么可以发生这样的反应。 ． Fe ，
Cu 溶于稀硝酸，剩余固体为以下情况时，溶液中可能的阳离子：
1 ）不剩余固体
2 ）剩余固体为 Cu
）剩余固体为 Fe ， Cu <
br>（ 4 ）可不可能剩余的固体只有 Fe ，为什
么？ ．已知 C （ s ），氢气（ g ），乙醇（ l ）的燃烧热为 394kJ/mol ， 286kJ/mol<
/p> ， 1367kJ/mol ， ．在发烟硝酸 H2SO4
?SO3 中， 2molI2 和 3molI2O5<
/p> 生成 I2 （ SO4 ）
3 ， I2 （ SO4 ） 3 溶于水生 I2 和 I
2O4 ，写出以上两个方程式。 测
定溶液中 Iˉ的方法，当 Iˉ太少时可用增大倍数的方法，第一种：用氯气将 Iˉ氧化 HIO3 ，后除去多余氯气，用<
/p> KI 还原 HIO3 后测定 Iˉ的量；
第二种：用 IO4ˉ将 Iˉ氧化 IO3
ˉ，加入一种物质阻止 IO4ˉ和 Iˉ反应，用 KI 还原 IO3ˉ后测定 Iˉ的量。问以上 Iˉ扩大了多少倍？ ．光滑平面，两个相隔一定距离的小球分别以 Vo （左）和 0.8Vo （右）反向匀速运动，它 1 在左侧 m ， 2 在右侧 2m ，中间有一压缩的弹簧， 弹性势能为 ， 当弹性 1<
/p> ）求小球 1 ， 2 的速度（
4.
化学：
2.
水，
问这能说明氢氧化铝的什么性质？
3.
4.
Mg+NaI=MgI+Na
5
（
（
(3
6
由这些可以知道
哪些数据？
7
成
8.
为
为
两种方法分别将
物理：
1
们中间有
两个小球
势能全部释放后（
）若小球
1
能追上左边的以
Vo
< p>运动的球，而小
球
2
不能追上右边以
0.8Vo
运动的球，求
m
的取值范围。
2
．物体做斜抛运动（
1
），抛出速度
V
与水平面夹角为
θ
，求落回抛出平面时与抛出点的
距离。（
2
）若人以
Vo
抛出一 个球，落回抛出平面时与抛出点的距离为
L
，求抛出速度的最
小值，以及此时的
θ
。
4
．理想气体，从
A
状态到
B
状态到
C
状态后回到
A
状态，
AB
为等温变化（
P
减小
V
增大），
< br>BC
等压变化（
V
减小），
CA
< p>为等积变化（P
减小）
(1
）三个过程中哪个气体对外做功的绝对值最大？
（
2
）哪个过程内能增加，哪个减少？
（
3
）
BC
和
< p>CA过程中哪个过程的吸热和放热的绝对值大？
5
.
正四面体，
每条边的电阻均为
R
，
取一条边的两个顶点，
问整个四面体的等效电阻为多少。
6.
光滑
U
型导轨上有一导体切割匀强磁场匀速运动，回路中 有一电阻为
R=0.3
Ω
，切割长度
为<
/p>
70cm
，磁场强度
B=0.5T
（
1
）回路中产生的感应电动势
（
2
）
R
的功率
（
3
）维持导体做匀 速直线运动的外力大小
7
．直角坐标系，
y>0
的范围内有匀强磁场
B
，
y<0
范围内有竖直向下电场，
P
（
3l
，
0
）
Q
（
0
，
< p>4l
），一个
m
带电
-q
< p>的粒子从O
点出射，与
X
轴正方向夹角为
φ
，一直沿
O
、
P
、< /p>
Q
围成的
闭合图形运动
< br>（
1
）求运动速度
V
，
φ< /p>
（
2
）求场强大小
E
错误 ！未找到引用源。
2009
年清华大学自主招生数学试题（理综）
1
．求值：
2
?
2
e
2
?
i
5
?
e
6
?
i
5
< br>2
．
2
．请写出一个整系数多项式
f
(
x
)
，使得
2
?
3
3
是其一个根<
/p>
3
．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明 你的结论。
4
．现有
100
< p>个集装箱，每个集装箱装两件货物。在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，
现在按
一定的规则将货物依次放入集装箱中。集装箱体积都是
1
，且每个集装箱最多放两 件
货物，
若装了一个货物后装不下第二个，
那么就将这个 集装箱密封，
把这个货物装到下个集
装箱中。问在最坏情况下需要多少个
集装箱。
5
．
A
，
B
两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若
a
1
,
a
2
,
??
a
n
出现在黑板上，则形
如
?
a
x
的数都不能写，不得不写
1
的人算输。初始状态黑板上写着
5
，
6
< br>i
i
i
问先写的人还是后写的人有必胜策
略？
6
．
64
匹马能否 通过
50
场比赛比出任意两匹马之间的优劣？（每场比赛至多
8< /p>
匹马参赛）
7
．
A
，
B
两人玩一个游戏，
A
提供若干硬币，
B
可以任
意将这些硬币全部摆放在顶点上，
并确定一个目标顶点
u
。
规则是：
A
可以选择一个上
面至少有两枚硬币的顶点
v
，
并选择一
个与它相邻的顶点
w
，将
v
上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在
w
< br>上。
A
若在有限步内
根据规则在
u
上放上一个硬币则获胜。已知
B
不想让
A
赢且他很聪明，试问在这两种情况
下
A
各需要至少几个硬币才能保证自己能赢。
2009
年清华大学自主招生试题
数学部分：
(^
表示指数位置
)
1
、
(5^0.5+1)/(5^0.5-1)
整数部分为
A
，小数部分为
B
。
求 ：
（
1
）
A
、
B< /p>
（
2
）B+B^2+B^3+??
＋
B^n
2
、
2
、求证：（
1
）当
x+y=1
，x^2n+y^2n≥0.5^( 2n
-1)
（
2
）
a,b ,c>0,
任意
将其排序为
x,y,z
。 求证：
a/x+b/y+c/z>=3
< p>3
、问
x^2+2px+2q=0,p
、
q< /p>
是奇数时是否有有理数根，证明之。
4
、
椭圆
x^2/(a^2)
＋< /p>
y^2/(b^2)=1,
过
A(-a
，
< p>0)做
l
交椭圆与
P
交
y
轴于
R
，
过
O
做
l’
平行于
l
交椭圆于
Q.
求证：
AP
、根二倍
OQ
、
AR
成等比数列
5
、写出所有公差是
8
的三项等差质数列。
6
、
sin
t
＋
cos
t
＝
1
，
z=cos
t+i
sin
t(i
是虚数单位
)
，求
z^0+z^1+z^2+z^3+??+z^n