哈尔滨理工大学地址-新学期计划书
递推公式与数列求和
一、填空题
1、数列
2、若数列
则
a
n
a
n
中，
a
1
1
，
a
n 1
a
n
满足
a
1
，a
2
2
n
a
n
，则
a
n
a
1
， a
3
a
2
， a
n
a
n 1
是首项为
1，公比为 2 的等比数列，
3、已知数列
a
n
，
a
1
1， a
n
1
2
a
n
1
，则
a
n
3
4、求和：
1
1
a
n
a
n
x
1
x
x
2
1
x
1
x
2
x
n 1
5、已知数列
的通项公式为
a
n
2n
2a
n
n
，则
a
n
的前 n 项和
S
n
2
6、已知数列
a
1
1 a
n 1
，
满足
2
n
n
，则
a
________________.
7、已知数列
a
n
满足：
a
1
2，
1
1
1
，记
b
n
lg
a
，则数列
b
n
n
的前 n
a
n 1
1
a
n
1
项和
S
n
____.
8 、 设
a
n
4n 2， b
n
1 a
n 1
2
a
n
a
n
， 则 数 列
a
n
b
n
的 前 n
项 和
1
S
n
________________ 。
9、已知数列
a
n
a
n
中
a
n
3n
1
n
2
n
， n为偶数
2a
2
3a
3
， 为奇数
，则它的前 n 项和
S
n
____________
10、已知数列
通项公式为
11、设
S
n
满足
a
1
na
n
n 1 n
2 ,n
N
*
，则
a
n
的
为 数 列
a
n
0
的 前 n
项 和 ，
S
n
1
n
a
n
1
，n N
*
2
n
， 则
S
1
S
2
S
1 0
.
12、已知数列
a
n
满足：对一切
n
N
*
， a
n
2
a
n
a
n 1
，且 a
1
2
，
a
2016
2016
，
记
b
n
a
n 1
2
a
n
b
，则
a
1
b
1
b
2
2015
a
n 1
二、选择题
13
、以已知数列
a
n
前
n
项和满足
S
n
S
n 1
S
n
S
n 1
n 2 ， a
1
1
，则
a
n
2
（
）
2
（A） n
（ B） 2n-1
（ C）
n
（ D）
2n 1
14、在各项均为正数的数列
a
n
中，
S
n
是其前
n
项和，
na
n 1
2
）
n 1
a
n
2
a
n
a
n 1
，且
a
3
，则
tan S
4
的值为（
（A）
3
3
（B）
3
（ C）
3
（ D）
3
3
（
15、如果数列
a
n
满足：
a
1
2 a
2
，
1
，且
a a
n
aa
n
n 1
n 1
a
2
，则
a
2010
）
n 1
a
n
a
n
a
n
1
（
C
）
2009
（A）
1
2009
（ B）
1
1005
（ D）
2
1005
16、已知数列
n
a
的前 n 项和
S
n
a
n
1
4
，那么（
）
（A）此数列一定是等差数列
（ B）此数列一定是等比数列
（ D）以上说法都不正确
（C）此数列不是等差数列，就是等比数列
三、解答题（
12 分 +12 分 +14 分+14 分）
17、已知数列
a
n
的前 n 项和
S
n
，且
S
n
，
n 5a
n
85 n N
*
（ 1）证明：
a
n
1
是等比数列；
（ 2）求数列
S
n
的通项公式，并求出使得
S
n 1
S
n
成立的最小正整数 n。
18、某县位于沙漠的边缘地带，人与自然长期进行顽强的斗争，到
达到
30%，从
1999 年开始每年将出现这样的局面：
原有绿洲面积的
4%又被侵蚀为沙漠，设
1998 年底全县绿化率已
原有沙漠面积的
16%改造为绿洲， 而同时
1998 年底该县的绿化率
a
0
30%
，经过
n 年后绿
化率为
a
n
（ 1）写出 1999 年起以后任意相邻两年年底该县绿化率的关系式。
（ 2）经过多少年努力才能使全县的绿化率超过
60%。
19、已知数列
a
n
满足：
a
1
2且 a
n 1
2 n
1 a
n
n
N
*
a
n
n
a
n
（1）求证：数列
n
a
n
1
为等比数列，并求数列
*
的通项公式；
（2）已知
b
n
a
n
n 2
n 1
1
n
N
，
，求数列
b
n
的前
n
项和。
20、已知数列
a
n
的前
n 项和为
S
n
，
a
1
N
*
5S
n
10，n
a，3a
n 1
，其中
a
R
。
（1）判断数列
a
n
A
是否为等比数列，并说明理由；
（2）已知集合
x x
a
x 1
0
，是否存在正实数
a
，使得对一切
n
N
*
，均
有
S
n
A
，若存在，求出
a
的取值范围，若不存在，说明理由。
21、已知数列
a
n
：
a
1
1，a
2
2， a
3
r， a
n 3
a
n
2
（
n
为正整数），与数列
b
n
：
1，b
4
0，b
n 4
b
n
（
n
为正整数），记
b
n
a
n
b
1
1， b
2
0， b
3
T
n
b
1
a
1
b
2
a
2
b
3
a
3
（1）若
a
1
a
2
a
3
a
12
64
，求
r
的值；
4n
；
（2）求证：当 n 时正整数时，
T
12n
（3）已知
r
0
，且存在正整数
m，使得在
T
12 m 1
，
T
12m
2
， ，T
12m 12
中有
4
项为
100，
求
r
的值，并指出哪
4
项为
100.
参考答案
一：填空题
n n 1
n n 1
n 1
，x 1
1、
2
2
n
； 2 、
2
1
； 3 、
3 2
2
3
； 4 、
2
n
x 1
n
x
x
；
2
， x
1
n
1
x
1
5、
n
2
n
1
n
1
1
2
； 6
、
n 2
n 1
；
7
、
lg
n 1
； 8 、
n 1
1
; 9
2n
1
、
4
3
2
3
n
8
2
n
17
24
， n为奇数
，
n 1
6
n
2
; 10
、
4
2
3
3
n
2
8
， n为偶数
1
n
4
3
4
2
2
， n
n
;
11
、
1
1
3
2
100
1
;
2
12、
二：选择题
13、 C; 14
三：解答题
17、（ 1）略
18、（ 1）
a
n
、 B;
15
、B;
16.
、 D
（ 2） 15
0.16 1 a
n
0.04a
n
a
n 1
（ 2）5 年
19
、（
1
）
a
n 2
n
2
n
1
n
（
2
）
S1
n
1
2
n 1
1
20、（ 1）是等比
（ 2）
a 3
21、（ 1）
r
4
（ 2）略
（
3
）
，
T
2 93
T
，
294
T
，
297
T
298
这
4
项为
100
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